Varianza de una variable aleatoria X

Supóngase que la media de X de la variable aleatoria X es M y que la función de probabilidad de X es f(x), entonces la varianza de una variable aleatoria X es:

σx = E(X-M)2 = Σ (xi-M)2 f(xi)

La varianza de una variable aleatoria es similar a la varianza muestral para describir la dispersión en los datos de una muestra. La varianza variable aleatoria se calcula ponderando el cuadrado de cada desviación con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviación. La probabilidad asociada con una desviación representa la proporción de un número grande de repeticiones del experimento aleatorio en los que se obtiene dicha desviación.


Otra alternativa para medir la variabilidad, que con frecuencia es más fácil de interpretar es la desviación estándar.

La desviación estándar de una variable aleatoria X, (media), denotada por σx es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Las unidades de la desviación estándar son idénticas a las de la variable aleatoria X. Asimismo, la desviación estándar de una variable aleatoria difiere de la desviación estándar de una muestra de datos debido al promedio ponderado utilizado para calcular la primera.

Ejemplo: En la comunicación digital de bits, la tasa de error es una importante consideración de diseño. Esto es, los bits cero que deben ser uno y viceversa, son bits recibidos con error.
Sea la variable aleatoria X el número de bits recibidos correctamente entre errores. Un valor razonable para la media de X, sin hacer uso de códigos de corrección de error, es 10 exp. 6.
¿Qué implicación tiene el hecho de que σx sea tan grande como 10 exp. 6?
Una desviación estándar grande implica que los errores pueden presentarse en rachas que afectan a varios bits consecutivos. Si varios de estos bits son erróneos, entonces existen cero bits correctos entre ellos. Entonces una desviación estándar grande puede obtenerse a partir de varios bits erróneos consecutivos, seguidos por intervalos grande de transisión libre de errores.