Funciones Discretas

Distribución Uniforme Discreta

Una variable aleatoria X es una variable aleatoria discreta uniforme si cada uno de los n valores que están en el rango de ésta, x1, x2,....., xn, tiene la misma probabilidad. Entonces,

fx(x)= 1/n

Ejemplo: La probabilidad de que el primer dígito del número de serie de una pieza sea uno de los números desde 0 hasta 9, es la misma. Si se toma una pieza al azar de un lote muy grande, y X es el primer dígito del número de serie, entonces X tiene una distribución discreta uniforme con una probabilidad 0.1 para cada valor de R = {0,1,2,...,9}. Esto es, fx(x)= 0.1 para cada valor de R.

Función de probabilidad de X:



Distribución Discreta Binomial

Tipos de experimentos que utilizan una función binomial: Ensayo de Bernoulli.

Ensayo de Bernoulli: Un experimento en el que se pueden presentar n ensayos repetidos tales que:

1)Los ensayos son independientes.

2)Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles denominados "éxito" y "fracao".

3)La probabilidad de éxito de cada ensayo, denotada por p, permanece constante.


Ejemplo: La posibilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por un canal de transmisión digital, es 0.1. Además, supóngase que los ensayos de transmisión son independientes. Sea X = número de bits recibidos con error en los próximos cuatro que serán transmitidos. Descríbase el espacio muestral de este experimento e indíquese el valor de X en cada resultado. Calcúlese P(X=2).
En este experimento se indica con E un bit erróneo, y con C un bit sin error, esto es, recibido correctamente. Con esto, el espacio muestral de este experimento puede describirse como una lista de cuatro letras que indican qué bits fueron recibidos con y sin error. Por ejemplo, el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erróneos, y los otros dos se recibieron correctamente. Por consiguiente, el espacio muestral es:



Funciones de probabilidad:

P(X=0)= (0.656)1
P(X=1)= (0.0729)4
P(X=2)= (0.0081)6
P(X=3)= (0.0009)4
P(X=4)= (0.0001)1



Combinaciones:



Entonces:




Distribución Binomial:

Varianza de una variable aleatoria X

Supóngase que la media de X de la variable aleatoria X es M y que la función de probabilidad de X es f(x), entonces la varianza de una variable aleatoria X es:

σx = E(X-M)2 = Σ (xi-M)2 f(xi)

La varianza de una variable aleatoria es similar a la varianza muestral para describir la dispersión en los datos de una muestra. La varianza variable aleatoria se calcula ponderando el cuadrado de cada desviación con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviación. La probabilidad asociada con una desviación representa la proporción de un número grande de repeticiones del experimento aleatorio en los que se obtiene dicha desviación.


Otra alternativa para medir la variabilidad, que con frecuencia es más fácil de interpretar es la desviación estándar.

La desviación estándar de una variable aleatoria X, (media), denotada por σx es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Las unidades de la desviación estándar son idénticas a las de la variable aleatoria X. Asimismo, la desviación estándar de una variable aleatoria difiere de la desviación estándar de una muestra de datos debido al promedio ponderado utilizado para calcular la primera.

Ejemplo: En la comunicación digital de bits, la tasa de error es una importante consideración de diseño. Esto es, los bits cero que deben ser uno y viceversa, son bits recibidos con error.
Sea la variable aleatoria X el número de bits recibidos correctamente entre errores. Un valor razonable para la media de X, sin hacer uso de códigos de corrección de error, es 10 exp. 6.
¿Qué implicación tiene el hecho de que σx sea tan grande como 10 exp. 6?
Una desviación estándar grande implica que los errores pueden presentarse en rachas que afectan a varios bits consecutivos. Si varios de estos bits son erróneos, entonces existen cero bits correctos entre ellos. Entonces una desviación estándar grande puede obtenerse a partir de varios bits erróneos consecutivos, seguidos por intervalos grande de transisión libre de errores.

Valor esperado de una variable aleatoria

Si X es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que determina el valor de X se repite muchas veces, entonces se obitene una secuencia de valores para X. Puede emplearse un resumen de estos valores, tal como el promedio (media), para identificar el valor central de la variable aleatoria.

La función de probabilidad de X puede interpretarse como la proporción de ensayos en los que X=x. En consecuencia, en realidad no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X. La media de X puede calcularse como el promedio ponderado de los valores posibles de X, asignando al resultado x un factor de ponderación fx(x)= P(X=x).

La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X. Esto es, si se coloca una masa igual a fx(x) en cada punto x de la recta real, entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio. Por consiguiente, el término "función de probabilidad" puede interpretarse mediante esta analogía con la mecánica.

M = E(X)= Σ xi f(xi)

Ejemplo: Se supone que la cobertura de una prueba en el proceso de verificación de un semiconductor tiene una eficacia del 80%. Esto es, la probabilidad de que un chip defectuoso no pase la prueba es 0.8. Se someten a prueba tres chip. Supóngase que la falla en cada chip defectuoso es independiente de las que aparezcan en otras pruebas. Sea la variable aleatoria X el número de chips defectuosos que no pasan la prueba. ¿Cuál es el valor esperado de X'?

Para hallar E(X) primero es necesario encontrar la función de probabilidad de X. La tabla siguiente presenta los resultados posibles de este experimento junto con los valores correspondientes de X. La probabilidad de cada resultado se obtiene con ayuda de la hipótesis de independencia. En la tabla, p indica que el chip pasa la prueba, y f, que el chip no pasa la prueba (falle). Por tanto, el resultado donde el primer chip pasa la prueba y los demás no, se denota por ppf. Por oitra parte, P(ppf)= 0.2 x 0.8 x 0.8 = 0.128.

X - {número de chips que no pasan la prueba}




Gráfica de distribución de frecuencias:




La función de probabilidad de X se encuentra a partir de estos resultados.





M = 0(0.008) + 1(0.096) + 2(0.384) + 3(0.512) = 2.4

Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X, denotada por Fx(x), es

Fx(x)= P(X<=x)= Σ f(x)

Para una variable aleatoria discreta X, Fx(x) satisface las propiedades siguientes.

(1) Fx(x)= P(X<=x)= Σ fx(x)
(2) 0<=Fx(x)<=1
(3) si x<=y, entonces Fx(x)<=Fx(y)


Ejemplo: 850 partes contiene 50 defectuosas. Se escogen de un lote 2 partes al azar sin reemplazo.
Sea X el número de partes defectuosas. ¿Cuál es la función de distribución acumulada?

X - {número de partes defectuososas} = {0,1,2}

P(X=0)= (800/850)(799/849)= 0.886

P(X=1)= (50/850)(800/849)= 0.111

P(X=2)= (50/850)(49/849)= 0.003





Función de probabilidad:





Distribución de frecuencia acumulada:

F(0)= 0.886

F(1)= 0.886 + 0.111 = 0.997

F(2)= 0.997 + 0.003 = 1.0





Ejemplo: El espacio muestral de un experimento aleatorio es S={a,b,c,d,e,f}. Cada resultado es igualmente posible.
1) Determine la función de probabilidad de X.
2) Determine la función de distribución acumulada.

Se define la variable aleatoria de la siguiente manera:




F(0)= 1/3

F(1.5)= 1/3 + 1/3 = 2/3

F(2)= 2/3 + 1/6 = 5/6

F(3)= 5/6 + 1/6 = 6/6 = 1

3º Unidad

Funcion de distribución de probabilidad


Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se denotan con una letra mayúscula, tal como X, y con una letra minúscula, como x, el valor posible de X. El conjunto de los posibles valores de la variable aleatoria X recibe el nombre de rango de X.

Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango finito (o infinito contable).

El evento que está formado por todos los resultados para los que X=x se donota como {X=x}, y la probabilidad de este evento como P(X=x).

La distribución de probabilidad o distribución de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la asociada con cada uno de estos valores. A menudo la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es el resumen más útil de un experimento aleatorio. la distribución de probabilidad de una variable puede darse de muchas maneras.

La función fx(x)= P(X=x) que va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta Z al intervalo [0,1] recibe el nombre de función de probabilidad.
Para una variable aleatoria X, fx(x) satisafce las propiedades siguientes:

(1) fx(x) = P(X=x)
(2) fx(x) >= 0 para toda x
(3) Σ fx(x) = 1

Ejemplo: Se tiran dos dados y se suma el valor de sus caras. La variable aleatoria X es el resultado de la suma de los valores.

x={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (x=8)
s={(1,1),..................}=36

P(X=8= = n(8)/n(5)=5/36

La variable aleatoria representa la suma de los 2 dados sea 5.

P(X=5)=4/36



¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados obtengan una suma de 5 o menos?

P(<=)= P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)= 1/36 + 2/36 + 3/36 + 4/36 + 4/36 = 10/36


Ejemplo: Un operador registra el tiempo (redondeado al segundo más cercano) requerido para terminar un ensamble mecánico. Los resultados que obtiene son:





Sea la variable aleatoria X el tiempo necesario para terminar un ensamble.
Determine:
a) función de probabilidad de X
b) P(33<= x < 38)
c) ¿Qué proporción de ensambles se terminan de armar en 35 s. o menos?




b) P(x=33) + P(x=34) + P(x=35) + P(x=36) + P(x=37) = 0.073 + 0.098 + 0.20 + 0.26 + 0.12 = 0.751

c) P(x<=35) = 0.02 + 0.04 + 0.049 + 0.073 + 0.098 + 0.20 = 0.48

Proporción de ensables = 0.48 (122) = 58.66 aprox. = 59