Prueba de hipotesis

Ejemplo: Los sistemas de escape de emergencia para tripulaciones de aeronaves son impulsados por un combustible solido. Una de las caracteristicas es la rapidez de combustion. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de la combustion sea 50 cm/s. La desviacion estandar 2 cm/s. El experimentador decide especificar una probabilidad para el error tipo I, con un nivel de significancia de alfa=0.05.
Selecciona una muestra aleatoria de n=25 y obtiene una rapidez promedio muestral de combustion de 51.3 cm/s.

a)Elabore el intervalo de confianza.
b)A que conclusion debemos llegar.

1)Parametro de interes M=50 cm/s.

2)Ho: M=50

3)Hi: M -desigual- 50

4)alfa=0.05

5)Cual es el estadistico de prueba (varianza poblacional conocida)

6)Region de rechazo



7)z=52.3-50/2/raiz 25 = 3.25

8)3.25 mayor que 1.96

Se cumplio; se rechaza Ho.

9)Conclusion: existe evidencia estadistica de que el valor especificado no esta cumpliendo.

Pasosa seguir para la prueba de hipotesis

Pasos a seguir para la prueba de hipotesis:

1)Del contexto del problema, identificar el parametro de interes.

2)Establecer Ho-hipotesis nula (siempre contiene la igualdad).

3)Especificar Hi-hipotesis alternativa.

4)Seleccionar el nivel de significancia (alfa).

5) Establecer un estadistico apropiado.

6)Establecer region de rechazo (critica).

7)Calcular las cantidades muestrales y sustituir en el estadistico de prueba y encontrar (z, t, f, x2).

8)Decidir si se debe rechazar la hipotesis.

Distribución t

Se usa en el caso en que tenemos una tenemos una muestra es pequeña (n<30) y varianza poblacional desconocida.

Estadístico t:




Ejemplo: El fabricante de un sistema propulsor está preocupado y le gustaría afirmar que su producto tiene una taza interna de combustión de 40 pulgadas por minuto. Prueba 25 granos de propulsor seleccionados al azar y si el valor de t calculado entre -t 0.05,24 y t 0.05,24 , entonces queda satisfecho. ¿Aqué conclusión debe llegar si tiene una muestra media de 42.5 y una desviación estándar muestral de 0.75 pulgadas por minuto? Supóngase que la taza de distribución tiene una distribución normal.

M = 40 in/min
n = 25 granos
x -testada- = 42.5 in/min
S = 0.75 in/min







Ejercicio: Determine los siguientes valores con las tablas de las t:

a)t 0.025,10 = 2.228

b)t 0.10,15 = 1.341

c)t 0.01,20 = 2.528

d)P (T10 <= t-alfa-,10) = 0.95 ; t 0.05,10 = 1.812



e)P (T15 <= t-alfa-,15) = 0.01 ; t 0.01,15 = -2.602



f)P (1.476 <= Ts <= t-alfa-,5) = 0.075

Diferencia de medias

Sean dos poblaciones con media M1 y M2 y σ, σ2 - "condición".







Condiciones:
- Muestra debe ser n>=30.
- Si es menor - debemos tener la confianza que la población se distribuye de manera normal.

Ejemplo: Se toma una muestra de tamaño n1 = 16, de una población normal que tiene una M = 75 y σ = 8, n2 = 9, normal M2 = 70 , σ = 12.

n1 = 16 normal M1 = 75, σ = 8
n2 = 9 normal M2 = 70, σ = 12

Unidad 4

Distribuciones de muestreo

Dstribución de probabilidad de las muestras (estadísticos) de una población.

Muestreo es definido como el proceso de seleccionar un número de observaciones (sujetos) de un grupo en particular de la población.
Distribución de muestreo mes definida como la distribución de frecuencias de la estadística de muchas muestras.
Es la distribución de medias y es llamada la distribución de muestreo de la media.

Los cuatro hechos de la distribución de muestreo, incluyen:

1) La estadística de interés (proporción, desviación estándar, o media)

2) Selección aleatoria de la muestra

3) Tamaño de la muestra aleatoria (muy importante)

4) Las características de la población siendo muestreada.


Teorema de límite central

Cuando muestras aleatorias del mismo tamaño son tomadas de la población, la
distribución de las medias de las muestras se acercarán a la distribución Normal.
Cuando la distribución de muestreo de la media tiene muestras de tamaño de 30 o mayores se dice que están Normalmente distribuidas.



Conluímos que la media de las medias es igual a la media de la población.



Si x1, x2, x3 es una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población (finita o infinita) con M y σ2, y si x -testada- es la media muestral, entonces la forma límite de la distribución es:



Ejemplo: Una compañía de electrónica fabrica resistencia, valor aproximado de 100 ohms y una desviación estándar de 10 ohms. La distribución de la resistencia es normal. Encuéntrese la probabilidad de que al tomar una muestra de n=25 resistencias, la resistencia promedio sea menor que 95 ohms.

M = 100 Ω
σ = 10 Ω
n = 25 resistencias
La resistencia promedio sea menor a 95 Ω.

Estadística Descriptiva

Inferencia Estadística

Población: extraer muestras con base en los resultados y conocimientos previos de los parámetros de la población (M,σ.¡).
Elaboramos hipótesis sobre el comportamiento de las variables aleatorias.

Muestreo aleatorio

Está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales de tiene cierto interés.

Muestra: subconjunto de observaciones seleccionadas.

Las variables aleatioras:
a) son independientes.
b) todas las observaciones tienen la misma distribución de probabilidad.

De la muestra aleatoria se pueden calcular estadísticas, como son: {media, varianza, desviación estándar} y también son variables aleatorias.

A menudo es necesario estimar:

La media de la población M.
La varianza de la población σ2.
La proporción de objetos de una población que pertenecen a cierta clase de interés.
La diferencia de proporciones entre dos poblaciones P1-P2.

Estimadores puntual debe ser insesgado (sin preferencia).

Funciones Discretas

Distribución Uniforme Discreta

Una variable aleatoria X es una variable aleatoria discreta uniforme si cada uno de los n valores que están en el rango de ésta, x1, x2,....., xn, tiene la misma probabilidad. Entonces,

fx(x)= 1/n

Ejemplo: La probabilidad de que el primer dígito del número de serie de una pieza sea uno de los números desde 0 hasta 9, es la misma. Si se toma una pieza al azar de un lote muy grande, y X es el primer dígito del número de serie, entonces X tiene una distribución discreta uniforme con una probabilidad 0.1 para cada valor de R = {0,1,2,...,9}. Esto es, fx(x)= 0.1 para cada valor de R.

Función de probabilidad de X:



Distribución Discreta Binomial

Tipos de experimentos que utilizan una función binomial: Ensayo de Bernoulli.

Ensayo de Bernoulli: Un experimento en el que se pueden presentar n ensayos repetidos tales que:

1)Los ensayos son independientes.

2)Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles denominados "éxito" y "fracao".

3)La probabilidad de éxito de cada ensayo, denotada por p, permanece constante.


Ejemplo: La posibilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por un canal de transmisión digital, es 0.1. Además, supóngase que los ensayos de transmisión son independientes. Sea X = número de bits recibidos con error en los próximos cuatro que serán transmitidos. Descríbase el espacio muestral de este experimento e indíquese el valor de X en cada resultado. Calcúlese P(X=2).
En este experimento se indica con E un bit erróneo, y con C un bit sin error, esto es, recibido correctamente. Con esto, el espacio muestral de este experimento puede describirse como una lista de cuatro letras que indican qué bits fueron recibidos con y sin error. Por ejemplo, el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erróneos, y los otros dos se recibieron correctamente. Por consiguiente, el espacio muestral es:



Funciones de probabilidad:

P(X=0)= (0.656)1
P(X=1)= (0.0729)4
P(X=2)= (0.0081)6
P(X=3)= (0.0009)4
P(X=4)= (0.0001)1



Combinaciones:



Entonces:




Distribución Binomial: